Abstract
In this work, an initial boundary value problem for a nonlinear (but without convective term) integro-differential Kelvin-Voigt equation modified with a p-Laplacian and a nonlinear source term is investigated. The integral term in the system with a convolution is called a memory term, and it indicated the viscoelastic properties of fluids. Such system of equations is called the Oskolkov equations in some papers, and it describes the motion of incompressible viscoelastic non-Newtonian fluids. In generally, there is not unique methods to prove the existence global in time of solutions to nonlinear initial-boundary value problems. However, one can response to such type questions by establishing some qualitative properties of solutions as blow up and localization in a finite time, large time behavior, and et al. In this paper, the global in time non-existence of weak generalized solutions to the studying initial boundary value problem for nonlinear modified integro-differential Kelvin-Voigt equations is proved by establishing the blowing up in a finite time property. The blow up of weak solutions to the investigating problem is obtained by using the Kalantarov-Ladyzhenskaya lemma. Keywords: integro-differential Kelvin-Voigt equation, weak solution, blow up. Бұл жұмыста модифициаланған р-Лапласианды және сызықты емес жылу көздi интегродифференциалдық Кельвин-Фойгт теңдеулер (бiрақ, конвективтi мүшесi жоқ) жүйесiне қойылған бастапқы-шеттiк есеп зерттелiнедi. Үйiрткi түрiндегi интегралдық мүше жинақтау жады мүшесi деп аталады және сұйықтықтардың тұтқырлық қасиеттерiн сипаттайды. Бұл теңдеулер жүйесi кейбiр авторлардың жұмыстарында Осколков теңдеулер жүйесi деп те аталады және ол сығылмайтын тұтқыр ньютондық емес сұйықтықтардың қозғалысын сипаттайды. Бүгiнгi таңда сызыңты емес бастапқы-шеттiк есептердiң шешiмiнiң уақыт бойынша глобалды бар болуын дәлелдеу үшiн бiртұтас әдiстер табыла қойған жоқ. Дегенмен де, шешiмнiң ақырлы уақытта шексiздiкке ұмтылуы, локализация және үлкен уақыт тәртiбi секiлдi сапалық қасиеттерi туралы ақпарарт алуға болады. Бұл жұмыста модифициаланған р-Лапласианды және сызықты емес жылу көздi интегро-дифференциалдық Кельвин-Фойгт теңдеуiне қойылған бастапқы-шеттiк есептiң жалпылама әлсiз шешiмiнiң ақырлы уақытта шексiздiкке ұмтылуы қасиетiн көрсету арқылы уақыт бойынша глобалды шешiлмейтiндiгi дәлелдендi. Модифициаланған р- Лапласианды және сызықты емес жылу көздi интегродифференциалдық Кельвин-Фойгт теңдеуiне қойылған бастапқы-шеттiк есептiң жалпылама әлсiз шешiмiнiң ақырлы уақытта шексiздiккке ұмтылуы қасиетiн көрсету КалантаровЛадыженская леммасы арқылы дәлелдендi. Түйiн сөздер: интегро-дифференциалдық Кельфин-Фойгт теңдеуi, әлсiз шешiм, шешiмнiң шексiздiкке ұмтылуы. В работе исследуется начально-краевая задача для системы нелинейного (но без конвективного члена) интегро-дифференциального уравнения Кельвина-Фойгта, модифицированного с p-лапласианом и нелинейном источником. Интегральный член в системе в виде сверткой называется членом памяти и он указывает вязкоупругие свойства жидкостей. Данная система уравнений в некоторых работах называется также системой уравнений Осколкова, и она описывает движение несжимаемой вязкоупругой неньютоновской жидкости. В настоящей время, не существует единые методы доказательства существования решений глобально во времени нелинейных начально-краевых задач. Однако можно ответить на такие вопросы, устанавливая некоторых качественных свойств решений, такие как разрушение и локализация за конечное время, поведение при больших временах и т.д. В данной работе, путем установления свойства разрушения за конечное время, доказано глобальное во времени не существование слабых обобщенных решений исследуемой начально-краевой задачи для нелинейного модифицированного интегро-дифференциального уравнения Кельвина-Фойгта, модифицированного с p-лапласианом и нелинейном источником. А свойства разрушения слабых решений данной исследуемой начально-краевой задачи для нелинейного модифицированного интегро- дифференциального уравнения Кельвина-Фойгта доказано с помощью леммы Калантарова-Ладыженской. Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение Кельвина-Фойгта, слабое решение, разрушения решения