Abstract
Авторы Мацаев и Могульский выделили широкий класс слабых возмущений положительного компактного оператора $H$, не имеющих ненулевое собственное значение, т.е. являющихся вольтерровыми. Под слабым возмущением положительного оператора $H$ понимаем оператор вида $H(I+S)$, где $S$ - такой компактный оператор, что $I+S$ непрерывно обратим. С другой стороны, такие слабые возмущения обладают полной системой корневых векторов, если самосопряженный оператор $H$ принадлежит классу Неймана-Шаттена. В данной статье мы рассматриваем компактные операторы $A$, представимые как сумма двух компактных операторов $A=C+T$ (т.е. $A$ не обязательно является слабым возмущением), где $C$ - положительный оператор. В настоящей статье доказаны теоремы существования ненулевых собственных значений для таких операторов. Известно, что задачи Коши для дифференциальных уравнений, как правило, являются корректными вольтерровыми задачами. Но пример Адамара показывает, что задача Коши для уравнения Лапласа некорректна. До сих пор не известно ни одного вольтеррового корректного сужения или расширения для уравнения эллиптического типа. Таким образом, возникает следующий вопрос: "существует ли вольтерровое корректное сужение максимального оператора $\widehat{L}$ или вольтерровое корректное расширение минимального оператора $L_0$, порожденного уравнениями эллиптического типа?" Полученные абстрактные теоремы существования собственных значений дают, что широкий класс корректных сужений максимального оператора $\widehat{L}$ и широкий класс корректных расширений минимального оператора $L_0$, порожденный уравнениями эллиптического типа не может быть вольтерровым. Более того, в двумерном случае доказано, что для оператора Лапласа вовсе нет вольтерровых корректных сужений и расширений. Библиография: 14 названий.