Аңдатпа
Решение нелинейных краевых задач обычно строится с помощью различных итерационных методов, основанных на известных методах последовательных приближений. Выбор метода неоднозначен, он зависит и от характера самой краевой задачи, вида входящих в нее дифференциальных уравнений, степени нелинейности, и от возможностей используемой для решения компьютеров. В этой связи получили развитие различные подходы к решению нелинейных краевых задач. Среди них известны проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. В настоящей работе предлагается новый итерационный метод решения абстрактного нелинейного уравнения A(u)=f,сходящийся при любом значении начального приближения, где оператор A(u)–не обязательно сжимающий. Таким образом, разработан приближенный вариационный метод решения нелинейных краевых задач. Доказываетсясходимость метода.Теоретическое изложение эффективности метода подтверждается численными экспериментами. Сызықты емес шеттік есептерді шешу әдетте біртіндеп жуықтаулардың белгілі әдістеріне негізделген әртүрлі итерациялық әдістерді қолдану көмегімен құрылады. Әдісті таңдау бір мәнді емес, ол шеттік есептің сипатына, оған кіретін дифференциалдық теңдеулердің түріне, сызықты еместік дәрежесіне және оны шешу үшін қолданылатын компьютердің мүмкіндіктеріне байланысты. Осыған байланысты сызықты емес шеттік есептерді шешудің әртүрлі тәсілдері дамыды. Олардың ішінде Бубнов және Ритц әдістері, ақырлы айырымдар және ақырлы элементтер әдістері сияқты проекциялық және вариациялық әдістер белгілі. Бұл жұмыста бастапқы жуықтаудың кез келген мәнінде жинақталатын, абстрактілі, сызықты емес A(u)=fтеңдеуін шешудің жаңа итерациялық әдісі ұсынылады, мұндағы А(u)–қысылуы міндетті емес оператор. Осылайша, сызықты емес шекаралық есептерді шешудің жуықталған вариациялық әдісі жасалды. Әдістің жинақтылығы дәлелденеді. Әдістің тиімділігінің теориялық мазмұндалуы сандық тәжірибелермен расталады. The solution of nonlinear boundary value problems is usually constructed using various iterative methods based on well-known methods of successive approximations. The choice of the method is ambiguous, it depends on the nature of the boundary value problem itself, the type of differential equations included in it, the degree of nonlinearity, and the capabilities of computers used to solve it. In this regard, various approaches to solving nonlinear boundary value problems have been developed. Among them, projection and variational methods such as Bubnov and Ritz methods, the method of finite differences and the method of finite elements are known. In this paper is proposed a new iterative method for solving the abstract nonlinear equation A(u)=f,which converges for any value of the initial approximation, where the operator A(u)is not necessarily contractive. Thus, an approximate variational method for solving nonlinear boundary value problems has been developed. The convergence of the method is proved. The theoretical presentation of the effectiveness of the method is confirmed by numerical experiments.